Tal

 

7. - 9. klassetrin

 

 

 

Indledning.

 

Forud for enhver undervisning må der nødvendigvis ligge en række didaktiske og pædagogiske overvejelser, der i sin korte version kan beskrives ved: Hvad, hvorfor og hvordan? Hvad: Matematiske emner og anvendelse af matematik. Hvordan: Matematiske arbejdsmåder. Hvorfor: Matematiske kompetencer. Alle tre områder udgår, som beskrevet i Fælles Mål 2009, lærerens didaktiske og pædagogiske overvejelser, lærerens "tankebobler".

Læringsprocesserne skal lægge op til aktiviteter hos eleverne, hvorved de skaber deres viden og forståelse. Viden kan således ikke overføres fra lærer til elev; men dannes i eleven ved en kompleks kognitiv proces faciliteret af aktivitet og kommunikation.

Læringssynet er således konstruktivistisk og den konstruktivistiske tilgang understreges, af den centrale placering af kompetencebegrebet i Fælles Mål 2009. Af de 8 kompetencer er den ene netop kommunikation.

Fælles Mål 2009 lægger op til en omfattende brug af konkrete materialer eller til at der i læringsprocesserne refereres til konkrete materialer. Teorierne om, at mennesker udvikler sig i stadier har gennemsyret undervisningen og undervisningsmaterialerne siden deres fremkomst. Det har således været gængs opfattelse, at børn først begynder at tænke abstrakt omkring 12 års alderen. Nyere undersøgelser har imidlertid vist, at i gruppen 12-16 årige, er 70% kun konkret operationelle. Der synes således at være mange gode grunde til at tage udgangspunkt i det fysisk sanselige, når undervisning planlægges og gennemføres. Elevernes referencerammer, deres forforståelse er også central i Fælles Mål 2009. Dermed er den forudgående socialiseringsproces central og det fundament, der skal bygges videre på. Der skelnes således mellem undervisningsmål og læringsmål. Sidstnævnte refererer til den enkelte elev og vedkommendes forudsætninger. Spørgsmålet er så, hvordan det vil kunne lykkes i klasser med måske til 28 elever.

Anvendelse af IT indenfor alle matematikkens områder er central og et ufravigeligt krav. Mange undersøgelser peger imidlertid på, at IT ikke bruges så meget som det kunne være ønskeligt. Årsagerne hertil er mange. Lange accesstider, mangel på anvendeligt programmel, manglende lærerforudsætninger, utilstrækkeligt eller dårligt fungerende maskinel, forældet lærebogsmateriale?

 

Foreliggende materiale tager udgangspunkt i en redidaktisering af kapitlet: Tal og størrelser i lærebogssystemet Kontext for 8. klassetrin; men er ikke en systematisk omskrivning. Der er snarere tale om et bud på hvordan emnet: Tal set i et historisk perspektiv kan gennemgås med IT som bærende medie.

Opgaverne ligger i et dokument, der kan redigeres. Det er således hensigten, at eleverne arbejder på en computer. Arbejdet gemmes løbende og udskrives når forløbet er færdigt eller i takt med at opgaverne løses. Der kan indsættes tekster og billeder, der hentes fra for eksempel nettet. Der er indbygget links til mange forskellige sider, og det er ideen, at eleverne besøger dem efter behov. Eleverne kan i det omfang de har brug for det, kopiere tekster og billeder ind i deres arbejdsdokument.

Vejledningen indeholder både en vejledning i brug af materialet og referencer til Fælles Mål 2009.

 

 

Fælles Mål 2009: Tallenes historiske udvikling inddrages

 

De ældste tal

 

 

Hvad har et menneske holdt regnskab med for 20.000 år siden?

Hvorfor er tallene stillet op i 3 kolonner?

Der er tilsyneladende grupper af sammenhørende tal. Hvorfor er der det? Hvilke tal? Er der system i dem?

Kolonnen til venstre indeholder fire primtal. De fire primtal er det 4., det 5., det 6. og det 7. Primtallene 3, 5 og 7 er også repræsenterede på knoglen, så bortset fra primtallet 2 er de 7 første primtal repræsenterede. Er det en tilfældighed eller er det en matematiker, der satte mærkerne for 20.000 år siden?

Alle gæt kan være lige gode bud, og en snak i klassen om disse spørgsmål kunne være interessant.

 

En nyere fortolkning, baseret på undersøgelser med mikroskop, der afslører flere mærker, går ud på at den blev brugt til at forudsige månens faser.

Blev den brugt til at holde styr på en menstruationscyklus, og var der derfor tale om en kvindelig matematiker?

 

 Tallene i de tre kolonner er interessante på flere måder. Tallene: 3, 5, 7,11,13,17 og 19 er alle primtal. Lægges tallene i de tre kolonner sammen fås 60, 48 og 60. 48 og 60 har fælles faktorer. Tallene:  2, 3, 4, 6 og 12 går op i både 48 og 60. Der er således næppe tale om tilfældige tal. Noget kunne tyde på, at den der afsatte mærkerne kendte til multiplikation og division.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Billedet her viser Ishango-knoglen set fra fire forskellige sider.

 

 

 


At gå op i.

 

Opgaven lægger op til at eleverne finder fælles faktorer.

 

Hvad er det mindste tal både 48 og 60 går op I?

Hvad er det største tal, der går op i både 48 og 60?

Hvad kan det bruges til?

Fællesnævnere i forbindelse med regning med brøker?

 

IT: http://nlvm.usu.edu/en/NAV/frames_asid_202_g_3_t_2.html?from=topic_t_2.html

Programmet giver mulighed for at at opdele sammensatte tal i faktorer. Ved at vælge to tal, kan man arbejde med fælles faktorer for de to tal.

 

 

 

Sammensatte tal og primtal

 

IT: http://nlvm.usu.edu/en/NAV/frames_asid_158_g_1_t_1.html?open=instructions&from=topic_t_1.html

 

Programmet arbejder med Erathostenes’ si. Ved at klikke på et tal kan man fjerne eller tydeliggøre de tal, tallet går op i.

 

Er der et system i primtallene?

Er der et mønster i den måde de forskellige tabeller er placerede?

Hvilke tal er fælles for 2-tabellen og 3-tabellen?

Hvilke tabeller ligger 48 og 60 i?

 

 

 

7 enere, 4 tiere, 5 hundreder og 2 tusinder. Ægyptiske tal skrives fra højre mod venstre.

 

 

 

2 tusinder, 5 hundreder, 4 tiere og 7 enere.

 

2547

 

MMDXLVII:  1000 + 1000 + 500 + 50 – 10 + 5 + 2 = 2547

 

IT: http://nlvm.usu.edu/en/NAV/frames_asid_155_g_1_t_1.html?from=topic_t_1.html

 

Programmet arbejder med repræsentationer i 10-talsystemet. Enere, tiere, hundreder og tusinder er repræsenterede.

Programmet er egnet til elever, på begyndertrinnet eller til elever, der har problemer med 10-talsystemet.

 

Hvilke lighedspunkter er der mellem de ægyptiske repræsentationer og decimalsystemet?

 

IT:   En lommeregner, der regner med ægyptiske tal.

http://translate.google.dk/translate?hl=da&langpair=en%7Cda&u=http://library.thinkquest.org/CR0210200/ancient_egypt/calc.htm

Lommeregneren har lidt flere begrænsninger end ægypterne reelt havde. Det er let at bruge og kræver ingen forkundskaber. Det er en simpel lommeregner med tre af de fire regnearter. Talgrænsen er 9.999.999 og den kan ikke regne med negative tal. Brøker og decimaltal kan den heller ikke klare. Ægypterne regnede med stambrøker (brøker med tælleren 1) og de kunne også dele; men disse muligheder er ikke indbygget i lommeregneren.

 

 

Regler for romertal

Syv bogstaver betegner tallene i det romerske system:

I=1

V=5

X=10

L=50

C=100 (Centum)

D=500

M=1000 (Mille)

De største mulige romertal med de 7 grundtal henholdsvis uden og med tusindmultiplikator er:

MMMDDDCCCLLLXXXVVVIII = 4.998 og

____________________________

MMMDDDCCCLLLXXXVVVIIIMMMDDDCCCLLLXXXVVVIII = 5.002.998

IT: http://nlvm.usu.edu/en/NAV/frames_asid_193_g_1_t_1.html?from=topic_t_1.html

Division
Kortene vil blive sorterede efter antal koncentriske cirkler og efter det antal blå cirkler, der er ligger på den yderste cirkel. Eleverne vil på den måde have rekonstrueret det periodiske system efter Dmitri Mendelevs principper.

Det periodiske system er et vigtigt redskab for forståelsen af kemien; men i denne opgave drejer det sig kun om matematikken.

 

 

IT: http://www.naturfagstest.dk/periodisk_1.htm

På denne side kan man sortere kortene/atomerne. Der er udelukkende tale om en elektronisk udgave af de fysiske kort.